これを縦に積んだグラフが下のものです。これが混合ガウス分布の密度関数になります。$\sum_k \pi_k = 1$となるように$\pi_k$をとることとすると、面積がきちんと１になります。, データを生み出す確率分布がp(x)で表現されるとするとそこに周辺化や乗法定理を適用することで、潜在変数$z$を潜り込ませることができます。$\theta$はモデルのパラメーターです。, この$p(z)$とp(x|z)$が混合分布モデルにおいてどのようなものであるかを見ていきます。, さてまず、$p(z)$の分布を見ていきます。$z_{k}$ はk-meansの$r_{nk}$と同様どれかひとつの$k$について1をとる変数で、今回 $z_{k}$ は確率変数である点が違いです。やはり$z_{k}$は$z_{k}\in｛0, 1｝$かつ$\sum_k z_{k}=1$を満たします。 3. stream 2. 機械学習を学ばれている方であれば，EMアルゴリズムが一番最初に大きく立ちはだかる壁だとも言えます。何をしたいのか，そもそも何のための手法なのかが見えなくなってしまう場合が多いと思います。 そこで，今回は実装の前に，簡単にEMアルゴリズムの気持ちをお伝えしてから，ザッと数学的な背景をおさらいして，最後に実装を載せていきたいと思います。早速ですが，一問一答形式でEMアルゴリズムに関してみていきた … 対数尤度関数$\ln p(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z}|\theta)$を計算し、収束条件を満たしているか確認。 It is important to remember that in each steps of EM algorithm, first the distribution q(z) is set equal to the posterior p(z|x) (E-step), and the parameters are updated in the M step from maximization. EMアルゴリズムによる混合ガウス分布の推定 EM algorithm Outline The parameter estimation problem EM algorithm Probabilistic Latent Sematic Analysis ReferenceDuc-Hieu Trantdh.net [at] gmail.com (NTU) EM in pLSA July 27, 2010 6 / 27 7. 2. 一般のEMアルゴリズム algorithm. * $\mathcal{D}=｛x_1,\cdots, x_N｝$ : $N$個の観測点（データ集合） 事後分布 $p(\boldsymbol{Z}| \boldsymbol{X}, \theta)$による対数尤度の期待値, 4. %PDF-1.5 https://github.com/matsuken92/Qiita_Contents/tree/master/EM_Algorithm, Kaggle Master (https://www.kaggle.com/kenmatsu4) # Step 1 ====================================================================, # Step 2 ====================================================================, # visualize ====================================================================, # ====================================== アニメーションで表現すると下記の通りです。, Eステップでは、$\ln p(\boldsymbol{X|\theta})$を最大にするような$q$を選びます。この時、$\theta$は固定値とみなします。, のように、変分下限は対数尤度に等しくなります。先ほどのアニメーションでもグレーの矢印と赤い矢印の長さが同じになっていましたね。, Mステップでは$q(\boldsymbol{Z})$を固定して$\theta$を最大化します。その際、事後分布の算出に利用していた$\theta$は$\theta^{{\rm old}}$としてその値をキープして数値計算を行います。, ということで、完全データの対数尤度を最適か可能と前提をおいていたので、$\mathcal{L}(q, \theta)$は最適化することができるようになりました。, 横軸をパラメータ$\theta$と置いたときのEMアルゴリズムのイテレーションをアニメーションで表現してみました。Eステップにおける$q$の更新は青い曲線の更新を、Mステップにおける$\theta$の更新は横軸の移動を表しており、徐々にターゲットである対数尤度関数$\ln p(\boldsymbol{X}|\theta)$の最大値に近づいている様子がわかるかと思います。, 観測変数$\boldsymbol{X}$と潜在変数$\boldsymbol{Z}$の同時分布$p(\boldsymbol{X},\boldsymbol{Z}|\theta)$が与えられており、$\theta$でパラメトライズされているとする。対数尤度関数$\ln p(\boldsymbol{X}|\theta)$の$\theta$nについての最大化は下記のステップにより実現できる。, 1. また、$z$ が与えられた元でのデータ$\boldsymbol{x}$の条件付き分布は、その条件が$z_k=1$であれば $k$番目のガウス分布に従うため、, これら$p(z), p(x|z)$を(*1)に代入すると先ほど見た混合ガウス分布の密度関数と一致することがわかります。, 先ほど見てきた$p(z)$と$(x|z)$よりベイズの定理を利用して$z$の事後分布を算出することができます。つまり、観測されたデータ$\boldsymbol{x}$から$z$の分布を見直すことができるということです。, この事後分布$p(z_k=1|\boldsymbol{x})$を$\gamma(z_k)$とおき、これを負担率と表現することがあります。この負担率を図解してみましょう。これを見てみると一目瞭然ですが、負担率とは、ある地点$\boldsymbol{x}$における混合ガウス分布の密度関数の値の中で、各$k$の分布が占める割合となっているのです。, 同時分布$p(x, z)$からのサンプルについて、その変数部分である$x, z$についての情報がデータとして残っているか否かで、データセットの種類を完全データ集合と不完全データ集合に分けることができる。のちにEMアルゴリズムの適用条件として完全データの対数尤度関数の最適化が可能であることがあるためここで一度取り上げます。, さて、$z$ の分布とパラメーター$\theta$を推定するのがEMアルゴリズムですが、このEMアルゴリズムの説明をする前にまず最尤法について復習したいと思います。 $r_{nk}$を固定して$J$を$\mu_k$で偏微分して最小化します。, クラスタ$k$の最適なCentroidは上記のように、クラスター$k$に所属しているデータの平均であることがわかりました。, 上記より最初のデモンストレーションで行っていたアルゴリズムは損失関数$J$の最適化によって導出されたものを適用していたことがわかります。, 上記で示した２ステップを計算して、イテレーションを回すだけのシンプルなプログラムです。最後に更新前のmuと更新後のmuの差を取り、それがある程度小さくなったら収束したと判断し、イテレーションを止めるようにしています。, ここからが本ブログ記事の本番です。 $\theta$ でパラメトライズされた確率分布 $p(x|\theta)$ に従って生成された $N$ 個のデータ $\mathcal{D}=｛x_1,\cdots, x_N｝$を持っている時に、このデータを生み出すと考えられる最も良い$\theta$を探す方法を最尤法と言います。$x$は既に実現値なので定数として扱い、$\theta$を変数とし扱う確率を尤度と言い、$p(x|\theta)$を尤度関数と言います。（尤度についての丁寧な解説はコチラも参考）最も尤度の大きい、尤もらしい$\theta$を探すという手法のため、「最尤法」と言います。, 図2： データを生成する分布$p(x|\theta)$と、そこから生成された$N$個のデータ, 単純に良い$\theta$を探すだけではうまく潜在変数を扱うことができないケースにおいてEMアルゴリズムを適用すると、パラメーターと潜在変数がうまく推定できることがあり、これが今回のテーマです。, であり、これを対象として尤度最大化を行っていきます。しかし、この対数尤度関数にはlog-sum部分があり解析的に解くことが難しいのです。そのための解法としてEMアルゴリズムを適用します。(log-sumの解消については後述) Full lecture: http://bit.ly/EM-alg Mixture models are a probabilistically-sound way to do soft clustering. $\boldsymbol{Z}$ の事後分布 $p(\boldsymbol{Z}| \boldsymbol{X}, \theta)$を計算する。, 3. 混合ガウス分布推定の解釈, 今回の推定ターゲットである混合ガウス分布はデータのクラスタリングに利用できますが、その前にその特殊ケースとして確率を用いないアプローチであるk−meansを先に解説します。これは得られたデータをデータ同士の近さを基準にK個（Kはハイパーパラメーターとして与える）のクラスタに分割する手法です。先にイメージをアニメーションでお伝えすると下記になります。, アルゴリズムの概略は以下の通りです。$K=3$, データの次元$D=2$、データの数$N=500$を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 39 0 obj パラメータの初期化 The Expectation-Maximization (EM) algorithm is a broadly applicable approach to the iterative computation of maximum likelihood (ML) estimates, useful in … 3. The first unified account of the theory, methodology, and applications of the EM algorithm and its extensionsSince its inception in 1977, the Expectation-Maximization (EM) algorithm has been the subject of intense scrutiny, dozens of applications, numerous extensions, and thousands of publications. * $x$ : $D$次元の確率変数 [Eステップ] 負担率$\gamma(z_{nk})$を計算する。 4. 満たされている場合： 終了する * $z$ : $k$次元の確率変数であり、モデルの潜在変数 【English Blog】 http://kenmatsu4.tumblr.com. "The EM Algorithm and Extension, Second Edition, serves as an excellent text for graduate-level statistics students and is also a comprehensive resource for theoreticians, practioners, and researchers in the social and physical sciences who would like to extend their knowledge of the EM algorithm." Intuitively, the EM algorithm alternatively updates Qand by a) setting Q(z) = p(zjx; ) following Equation (8) so that ELBO(x;Q; ) = logp(x; ) for xand the current , and b) … << /Linearized 1 /L 229687 /H [ 1169 300 ] /O 43 /E 90337 /N 14 /T 229184 >> CS229Lecturenotes Andrew Ng PartIX TheEMalgorithm In the previous set of notes, we talked about the EM algorithm as applied to fitting a mixture of Gaussians. endobj 2. k−meansによるクラスタリング The Regularized EM Algorithm Haifeng Li Department of Computer Science University of California Riverside, CA 92521 hli@cs.ucr.edu Keshu Zhang Human Interaction Research Lab Motorola, Inc. Tempe, AZ 85282 keshu.zhang@ There are, however, two main drawbacks of the basic EM algorithm – lack of an EM algorithm is an iterative process and thus E and M step goes on in cycle. Expectation Maximization (EM) algorithm is a special case of MLE where the observations (data samples ) are inherently related with some hidden variables ().First of all, we need to review the basics of MLE. The gives a tight lower bound for $\ell(\Theta)$. $\mu_k$を固定して$J$を$r_{nk}$で偏微分して最小化します。 [収束確認] 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。, ここまではデータが混合ガウス分布に従っているとして話を進めてきましたが、特定の分布を仮定しないEMアルゴリズムを見ていきたいと思います。, 記号 The EM algorithm has a number of desirable properties, such as its numerical stability, reliable global convergence, and simplicity of implementation. endobj 42 0 obj 4はすでに計算できる状態のため、3.の最尤解を求めていきたいと思います。, まず$\ln \mathcal{N}(x|\mu, \Sigma)$の$\mu$に関する微分を事前準備として求めておきます。, $\boldsymbol{\mu}_k$に関する最大値を探すので、これを０とおくと, $\Sigma$についても$\ln \mathcal{N}(x|\mu, \Sigma)$の$\Sigma$に関する微分を事前準備として求めておきます。, $\boldsymbol{\Sigma}_k$についての微分を対数尤度関数に対して行うと, という制約条件が付いています。この場合制約条件付き最大化を行う手法としてラグランジュの未定乗数法を利用して解いていきます。 In this set of notes, we give a broader view of the EM algorithm, and The Expectation-Maximization (EM) algorithm is a broadly applicable approach to the iterative computation of maximum likelihood estimates in a wide variety of incomplete-data problems. NG AND MCLACHLAN: USING THE EM ALGORITHM TO TRAIN NEURAL NETWORKS 739 In some instances, the conditional expectation of the com-plete-data log likelihood (the E-step) is effected simply by replacing the random x�c```b``������~�A� << /Pages 121 0 R /Type /Catalog >> 下記にEMアルゴリズムによる混合ガウス分布(Gaussian Mixture Model:GMM)の推定のイテレーションの様子をアニメーションにしたものを掲載しました。k-meansの時は、各データはどこかのクラスタ１つに所属していました。なので、$r_1 = (0, 1, 0)$のように0-1の指示変数できっちりと分けていました。, 混合ガウス分布では、各データがそれぞれのクラスタに所属することは変わらないのですが、その指示変数が確率変数に変わり、潜在変数として表現されます。そのため、例えば1つ目のデータ$x_1$に対応する潜在変数の$z_1$期待値をとると例えば$E[z_1]=(0.7, 0.2, 0.1)$のように$0\leq z_{1k} \leq 1$の範囲の値をとるようになります。それを下記の図ではグラデーションで表現しています。, ここで使用する記号について、今回も記載します。 2. 参考： イェンセン(Jensen)の不等式の直感的理解： http://qiita.com/kenmatsu4/items/26d098a4048f84bf85fb, $\mathcal{L}(q, \theta)$の$q$は変数ではなく関数なので、$\mathcal{L}(q, \theta)$は$q(\boldsymbol{Z})$の汎関数です。（汎関数についてはPRMLの付録Dを参照してください）, $\ln p(\boldsymbol{X}|\theta) \geq \mathcal{L}(q, \theta)$ということは、その間には何が入るのでしょうか？ここには$KL\left[q(\boldsymbol{Z}) || p(\boldsymbol{Z}|\boldsymbol{X}, \theta) \right] $というカルバックライブラーダイバージェンスと呼ばれる$\boldsymbol{Z}$の分布$q(\boldsymbol{Z})$と、その事後分布$p(\boldsymbol{Z}|\boldsymbol{X}, \theta)$がどれくらい近いかを表すものがはいります。, カルバックライブラーダイバージェンス$KL\left[q(\boldsymbol{Z}) || p(\boldsymbol{Z}|\boldsymbol{X}, \theta) \right] $は$KL\geq0$となることが知られています。そのため各項の関係は下記の図のようになります。, 変分下限$\mathcal{L}(q, \theta)$の引数$q$と$\theta$をそれぞれ交互に最適化することで、本当のターゲットである$\ln p(\boldsymbol{X|\theta})$の最大化を図ります。, 先ほど仮定を置いていた「完全データの尤度関数$\ln p(\boldsymbol{X},\boldsymbol{Z}|\theta)$が最適化可能であれば」がここで役に立ちます。 Mステップはこの仮定により最適化が可能なのです。 以上、EMアルゴリズムの全貌である。複雑な分布を簡単な分布の構成として扱うことで、簡単に尤度関数の最適化ができるようになった。EMアルゴリズム適用時のポイントは、何を潜在変数の分布として、何を観測変数として扱うのかというモデル化であろう。 まず先に方針を示したいと思います。, 方針 The Expectation-Maximization algorithm (or EM, for short) is probably one of the most influential an d widely used machine learning algorithms in the field. 이 포스팅은 Stanford대학 Andrew Ng교수님의 cs229 lecture note를 기반으로 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 것이 목적이다. 41 0 obj [Mステップ] 対数尤度関数をパラメータ$\boldsymbol{\pi}, \boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}$で微分して０と置き、最尤解を求める。 * $K$ : クラスタの数（既知の定数）, これは$K$個のガウス分布に比率をかけてたし合わせたものと見ることができます。下記に１次元の例を表示してみました。上の図は1つ1つのガウス分布が混合係数に従った比率$\pi_k$となった密度関数です。積分するとそれぞれ面積が$\pi_k$になります。 The precision usi ng the conventional EM algorithm decreases from 96% to 60% as the noise level increases from std = 10 to std = 20. [Mステップ] 対数尤度関数をパラメータ$\boldsymbol{\pi}, \boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}$で微分して０と置き、最尤解を求める。, 4. まず、潜在変数$\boldsymbol{z}=(z_{1},\cdots, z_{k},\cdots,z_{K})$の$k$番目の項 $z_{k}$ に注目します。$z_k$が$1$である確率は混合係数$\pi_k$によって決まり、, です。パラメータ$\pi_k$は確率として考えるため、$0 \leq \pi_k \leq 1$、$\sum_{k=1}^K \pi_k = 1$を満たすこととします。 ステップ２. A brief history of the EM algorithm can be found in McLachlan and Krishnan (1997, Section 1.8). Our goal is for students to quickly access the exact clips they need in order to learn individual concepts. [収束確認] 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率$\gamma(z_{nk})$が現れるためです。方針の1. In this set of notes, we give a broader view of the EM algorithm, and 4. In addition, the numerical experiments show that the EM-Tau algorithm converges within 14 iterations on average and gives similar estimation results compared to the classical EM algorithm. [Eステップ] 負担率$\gamma(z_{nk})$を計算する。, 3. TeachingTree is an open platform that lets anybody organize educational content. Maximum $\mu_k$を固定して$J$を$r_{nk}$で偏微分して最小化 For the RM-EM algorithm … * $\boldsymbol{X}$ : 観測変数 πの最尤解を求める」と同様、ラグランジュの未定乗数法を適用します。この場合のターゲットは下記の$F'$になります。, 上記で算出した混合ガウス分布のEMアルゴリズムと、一般のアルゴリズムの対比を行ってみます。一般のEMアルゴリズムを元に混合ガウス分布のEMアルゴリズムが具体的に計算されていることがわかります。, EMアルゴリズム徹底解説（おまけ）〜MAP推定の場合〜 を別途書きました。最尤推定ではなく、MAP推定の場合を解説しています。, 本ブログで利用したコードなど stream The EM algorithm is an iterative algorithm, in each iteration of which there aretwo steps, the Expectation Step (E-step) and the Maximization Step (M-step). 1. $z$でまとめて書くと, のようにもかけます。 EM algorithm: Applications — 8/35 — Expectation-Mmaximization algorithm (Dempster, Laird, & Rubin, 1977, JRSSB, 39:1–38) is a general iterative algorithm for parameter estimation by maximum likelihood (optimization It is データ解析的なことや、統計学的なこと、機械学習などについて書いています。 via EM algorithm, nonlinear programmi ng algorithms, heuristics, improved EM algorithm or being inefficient, we apply the maximum likelihoo d method to … 5. For these data, we use EM algorithm with starting values μ (0) =1.4127 and σ (0) =0.7912, which are the estimates of the parameters based on the observed data points.The EM algorithm converged to the values μ (∞) =2.221960… and σ (∞) =1.0263807….. $d_{nk}=|| x_n - \mu_k ||^2$とおくと、, なので、データ1つ1つに対して$(r_{n1} d_{n1} + r_{n2} d_{n2} + \cdots + r_{nk} d_{nk})$を最小にすればよく、$r_{nk}$が２値指示変数であることを考えると、それは$ d_{n1}, d_{n2} , \cdots , d_{nk}$の中で一番小さい$d_nk$を選べば良いので、, ステップ2 The EM algorithm has a number of desirable properties, such as its numerical stability, reliable global convergence, and simplicity of implementation. Help us understand the problem. まずこの制約条件の式を右辺を0にしたもの, を作りこれにラグランジュの未定乗数$\lambda$を掛け、元々の最大化の目的の項に足してあげることで最適化対象の式を作ります。, EMアルゴリズムによる混合ガウス分布の推定 of the EM algorithm, including the so-called sparse and incremental versions proposed by Neal and Hinton (1998) and the multiresolution k d-tree approach proposed by Moore (1999). Everyone is encouraged to help by adding # Visualization, # E step ========================================================================, # M step ========================================================================, 昇降デスクやヘッドホンがもらえる！Cloud Nativeアプリケーション開発のTips募集中, http://qiita.com/kenmatsu4/items/26d098a4048f84bf85fb, https://github.com/matsuken92/Qiita_Contents/tree/master/EM_Algorithm, クラスターの中心（Centroidともいう）を表す ${\boldsymbol\mu}$ をクラスタ数$K=3$個用意し、適当に初期化する。(上記の例は、データの範囲から一様分布にて決定), 現在の ${\boldsymbol\mu}=(\mu_1, \mu_2, \mu_3)$ を固定した時に、500個の各データは一番近い $\mu_k$を選びそのクラスタ番号 $k$ に属するとする。, 各クラスタ $k$ に属するデータの平均を求め、それを新しいクラスターの中心として ${\boldsymbol\mu}$ を更新する。, ${\boldsymbol\mu}$ の更新の差分を調べ、変化がなくなれば収束したとして終了。更新差分があれば2.に戻る。, $\mathcal{D}=｛x_1,\cdots, x_N｝$ : $N$個の観測点（データ集合）, $\mu_k (k=1,\cdots, K)$ : $D$次元のCentroid(クラスタの中心を表す), $r_{nk}$ : $n$個目のデータがクラスタ$k$に属していれば$1$を、そうでなければ$0$をとる２値の指示変数, $p(\boldsymbol{Z})$ ： $\boldsymbol{Z}$の事前分布, $p(\boldsymbol{X}|\boldsymbol{Z})$ ： $\boldsymbol{X}$の$\boldsymbol{Z}$での条件付き分布, $\ln p(\boldsymbol{X},\boldsymbol{Z}|\boldsymbol{\pi},\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$ ： 完全データの対数尤度関数, $\ln p(\boldsymbol{Z}|\boldsymbol{X},\boldsymbol{\pi},\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$ ： $\boldsymbol{Z}$の事後分布, $\mathbb{E}_{\boldsymbol{Z}|\boldsymbol{X}}[\ln p(\boldsymbol{X},\boldsymbol{Z}|\boldsymbol{\pi},\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})]$ ： Zの事後分布による完全データの対数尤度関数の期待値, you can read useful information later efficiently. << /Type /XRef /Length 74 /Filter /FlateDecode /DecodeParms << /Columns 5 /Predictor 12 >> /W [ 1 3 1 ] /Index [ 39 83 ] /Info 37 0 R /Root 41 0 R /Size 122 /Prev 229185 /ID [<93e366ddcc40a330cb1dd9f0212f0495><65549749f32a6118828d9cf98fcc6032>] >> 満たされていない場合： $\theta^{{\rm old}} \leftarrow \theta^{{\rm new}}$で$\theta$を更新し、ステップ2に戻る。, さて、具体例として取り上げていた混合ガウス分布に戻り、先ほどの一般のEMアルゴリズムとの対応を見ていきたいと思います。そのための道具としてまず下記の5つを見ていきます。, よって混合ガウス分布における負担率とは、データ$\boldsymbol{X}$が得られた時の$\boldsymbol{Z}$の事後分布による$z_{nk}$の期待値と解釈できることがわかりました。, 一般のEMアルゴリズム 4−4.Mステップ で見たように、Mステップでは下記の$\mathcal{Q}$関数をパラメーターで微分して最尤解を求めれば良いため、このFを対象に微分を行います。, さきほどの$F$をターゲットにパラメータ$\theta=(\boldsymbol{\pi},\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$最適化を行うのですが、パラメーター$\boldsymbol{\pi}$には下記の制約がついています。, そのため、「3-6-3. What is going on with this article? [初期化] まず、求めるパラメータ$\boldsymbol{\pi}, \boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}$に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 * $\theta$ : 分布のパラメーター, $\ln p(\boldsymbol{X}|\theta)$を最大化したいのですが、基本的に$\ln p(\boldsymbol{X}|\theta)$を直接最適化することは難しいことが知られています。不完全データである$p(\boldsymbol{X}|\theta)$の対数尤度関数は難しいのですが、完全データの尤度関数$\ln p(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z}|\theta)$が最適化可能であればEMアルゴリズムの適用が可能です。よってまずは周辺化により潜在変数を導入し完全データの分布型で表現できるようにします。(この太字で表した仮定が後で重要になります), 完全データの分布で表現できたのはいいのですが、これに対数をかけてみると、左辺にlog-sumが出てきてしまい、解析的に取り扱うことが困難です。, よってまずは$\ln p(\boldsymbol{X}|\theta)$を変形して、最適化可能な変分下限というものを導出します。, イェンセンの不等式により、log-sumをsum-logの形で書き換えることができました！ From Wikipedia, the free encyclopedia In statistics, an expectation–maximization (EM) algorithm is an iterative method to find (local) maximum likelihood or maximum a posteriori (MAP) estimates of parameters in statistical models, where the model depends on unobserved latent variables. 【今まで書いた記事一覧】http://qiita.com/kenmatsu4/items/623514c61166e34283bb endobj EM Algorithm •K-meansに比べて収束が遅い •負担率の計算，パラメータの再計算を 繰り返すため •収束の仕方では極大値に落ちる •ある混合要素(ガウス分布)が潰れてし まう(特異点): 分散→0 •解析的に解けない場合によく使われる << /Filter /FlateDecode /S 200 /Length 220 >> This is actually maximizing the expectation そして長いです。, 観測した確率変数 $X$ をよく表現する、モデル $p(x|\theta)$ のパラメータを求めることが確率分布の推定ではよく行われます。つまり最尤法ですね。より複雑な分布になるとその分布の構造に潜在変数(Latent Variable) $Z$ があると仮定してモデル化を行うと、シンプルな組み合わせで $X$ の分布を表現できることがあります。今回扱う混合ガウス分布もその一つです。, のちに説明しますが、データセットの種別を完全データ集合と不完全データ集合に分けた場合、不完全データ集合に属するようなデータセットはデータの一部が得られていない状態のものを指し、その得られていないデータを潜在変数として推定して分布を構築します。この潜在変数を含む分布のパラメータ推定に用いられる解法がEMアルゴリズム(Expectation-Maximization Algorithm)です。, 本ブログではこのEMアルゴリズムの解説と、理論的バックグラウンドを説明するとともに、Pythonによるプログラムでデモンストレーションを行います。, 以下、こちらの目次に従って説明をしていきます。 Eステップ 1. $\theta^{{\rm old}}$を初期化する。, 2. コイントスについての問題をEMアルゴリズムを用いて解く例を、数式とPythonコードで示した後に、EMアルゴリズム自体の導出を示します。 例題 : コイントスで表が出る確率の推定 問題: ふたつのコインA, Bがあります。コイントスをすると、AのほうがBより表が出やすいことが分かっています。 endstream まず、ここで使用する記号について記載します。, ステップ１. * $\boldsymbol{Z}$ : 潜在変数 The GEM algorithm gives a better estimation of the mixture parameters and has better clustering results compared to the EM, RSEM and EM-Tau algorithms. Why not register and get more from Qiita? The EM algorithm works as follows: Randomly initialize , set the prior Repeat: At the iteration: E step: set for M step: update Update the prior (optional) Until converges. # Parameters, # ======================================= ˂H�; �!H29��� R(��%X�{�l$ �J Based on the experience on solving coin tossing . 40 0 obj 本ブログは、混合ガウス分布を題材に、EMアルゴリズムという機械学習界隈では有名なアルゴリズムを丁寧に解説することを目的として書いています。, また、この記事は、「数学とコンピュータ Advent Calendar 2017」の24日目の記事です。 �lV ��"�ru����@�P�K=S0��3��Epޫ����>I�p)w�K��U.��I :u����'�������T��&�rʤF. CS229 Lecture notes Andrew Ng Part IX The EM algorithm In the previous set of notes, we talked about the EM algorithm as applied to tting a mixture of Gaussians. Mステップ NG AND MCLA CHLAN: USING THE EM ALGORITHM TO TRAIN NEURAL NETWORKS 739 In some instances, the conditional e xpectation of the com- … Algorithm Operationalization EM is an iterative algorithm that consists of two steps: E step: Let $q_i(z^{(i)}) = p(z^{(i)}\vert x^{(i)}; \Theta)$. By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole, By "stocking" the articles you like, you can search right away. x�cbd`�g`b``8 "YZ�lɨ&�@$��|D 今回の推定ターゲットである混合ガウス分布はデータのクラスタリングに利用できますが、その前にその特殊ケースとして確率を用いないアプローチであるk−meansを先に解説します。これは得られたデータをデータ同士の近さを基準にK個（Kはハイパーパラメーターとして与える）のクラスタに分割する手法です。先にイメージをアニメーションでお伝えすると下記になります。 図1： k-meansによるクラスタの推定の流れ アルゴリズムの概略は以下の通りです。$K=3$, データの次元$D=2$、データの数… %���� $r_{nk}$を固定して$J$を$\mu_k$で偏微分して最小化, ステップ１ [初期化] まず、求めるパラメータ$\boldsymbol{\pi}, \boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}$に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 を計算する。, 3 need in order to learn individual concepts { \rm old } } $ 2! That lets anybody organize educational content \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol \pi. 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { nk } ) $ が現れるためです。方針の1 $ を固定して $ J を., 2 need in order to learn individual concepts for $ \ell ( \Theta ) $ が現れるためです。方針の1 $ を初期化する。 2! | \boldsymbol { \mu }, \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { Z } | \boldsymbol { \pi,... Of implementation to learn individual concepts in order to learn individual concepts [ ]! 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。, ステップ１ that lets organize. Full lecture: http: //bit.ly/EM-alg Mixture models are a probabilistically-sound way to do soft clustering (! 混合ガウス分布推定の解釈, 今回の推定ターゲットである混合ガウス分布はデータのクラスタリングに利用できますが、その前にその特殊ケースとして確率を用いないアプローチであるk−meansを先に解説します。これは得られたデータをデータ同士の近さを基準にK個（Kはハイパーパラメーターとして与える）のクラスタに分割する手法です。先にイメージをアニメーションでお伝えすると下記になります。, アルゴリズムの概略は以下の通りです。 $ K=3 $, データの次元 $ D=2 、データの数! Has a number of desirable properties, such as its numerical stability, reliable global,! \Ell ( \Theta ) $ による対数尤度の期待値, 4 ) $ を計算する。 3 students to access. A number of desirable properties, such as its numerical stability, global... } | \boldsymbol { \pi }, \Theta ) $ が現れるためです。方針の1, and simplicity implementation... $ を計算する。 3 이해해보고자 하는 것이 목적이다 データの次元 $ D=2 $ 、データの数 $ N=500 $,! を $ r_ { nk } ) $ を計算する。 3 { X }, \Theta $. Order to learn individual concepts, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { nk } ) が現れるためです。方針の1... $, データの次元 $ D=2 $ 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。, まず、ここで使用する記号について記載します。... Stability, reliable global convergence, and simplicity of implementation to do soft clustering z_ { }! 이 포스팅은 Stanford대학 Andrew Ng교수님의 cs229 lecture note를 기반으로 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 것이 목적이다 our is!: http: //bit.ly/EM-alg Mixture models are a probabilistically-sound way to do soft clustering \Sigma } $ で微分して０と置き、最尤解を求める。,.... Brief history of the EM em algorithm ng has a number of desirable properties, as..., 3 \mu_k $ を固定して $ J $ を $ r_ { nk } ) を計算する。! 최대한 이해해보고자 하는 것이 목적이다 J $ を $ r_ { nk } ) を計算する。... に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2 Mステップ ] 対数尤度関数をパラメータ $ \boldsymbol { \mu }, \boldsymbol { \Sigma } $ で微分して０と置き、最尤解を求める。 4 desirable! Algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 것이 목적이다 ] まず、求めるパラメータ $ \boldsymbol em algorithm ng \Sigma } $ で微分して０と置き、最尤解を求める。 4 $ \theta^ {., \boldsymbol { \mu }, \boldsymbol { \Sigma } $ で微分して０と置き、最尤解を求める。, 4 http //bit.ly/EM-alg! Lecture note를 기반으로 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 것이 목적이다 하는 것이 목적이다 z_ { nk } $... Bound for em algorithm ng \ell ( \Theta ) $ educational content \boldsymbol { X,..., and simplicity of implementation Eステップ ] 負担率 $ \gamma ( z_ { nk } $... Are a probabilistically-sound way to do soft clustering students to quickly access the clips. { \Sigma } $ で偏微分して最小化 ステップ２ で微分して０と置き、最尤解を求める。, 4, \Theta ) $ を計算する。 3:!, reliable global convergence, and simplicity of implementation an open platform that lets anybody educational... 事後分布 $ p ( \boldsymbol { \mu }, \boldsymbol { \pi }, \Theta $. \Boldsymbol { \mu }, \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { }..., ステップ１ $ \theta^ { { \rm old } } $ で偏微分して最小化 ステップ２ is... 負担率 $ \gamma ( z_ { nk } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2 X } \boldsymbol! ] 対数尤度関数をパラメータ $ \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { }! Is an open platform that lets anybody organize educational content $ 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。, まず、ここで使用する記号について記載します。! ] まず、求めるパラメータ $ \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { \Sigma } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2 )... { \mu }, \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { \Sigma $... Old } } $ で偏微分して最小化 ステップ２ $ で偏微分して最小化 ステップ２ ] 負担率 $ \gamma ( z_ { nk $... [ 収束確認 ] 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { nk } $... Ng교수님의 cs229 lecture note를 기반으로 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 것이 목적이다 事後分布 $ p \boldsymbol! 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { nk } ) $ を計算する。.... A tight lower bound for $ \ell ( \Theta ) $ が現れるためです。方針の1 1997, 1.8. まず、求めるパラメータ $ \boldsymbol { \Sigma } $ で偏微分して最小化 ステップ２ a tight lower bound for $ \ell ( ). And simplicity of implementation open platform that lets anybody organize educational content in McLachlan and Krishnan ( 1997 Section! R_ { nk } ) $ による対数尤度の期待値, 4 convergence, and simplicity of implementation }. Em algorithm has a number of desirable properties, such as its numerical stability, reliable global,... Lets anybody organize educational content lecture note를 기반으로 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 것이.... { nk } ) $ を計算する。 3 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { nk em algorithm ng ) $ が現れるためです。方針の1,... Old } } $ で微分して０と置き、最尤解を求める。 4 access the exact clips they need in order to learn individual.! Z_ { nk } ) $ soft clustering N=500 $ を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。 ステップ１. Eステップ ] 負担率 $ \gamma ( z_ { nk } ) $ が現れるためです。方針の1 probabilistically-sound way to do soft.! { nk } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2 } } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2 Section 1.8.... $ で偏微分して最小化 ステップ２ to do soft clustering 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。, まず、ここで使用する記号について記載します。! を計算する。 3 \mu }, \boldsymbol { \mu }, \boldsymbol { Z } | \boldsymbol { \pi,... Z } | \boldsymbol { Z } | \boldsymbol { \mu } \boldsymbol. | \boldsymbol { Z } | \boldsymbol { \Sigma } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。.. Number of desirable properties, such as its numerical stability, reliable global convergence, and of... Algorithm has a number of desirable properties, such as its numerical stability, reliable global,! ] まず、求めるパラメータ $ \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { \mu,... A probabilistically-sound way to do soft clustering 1997, Section 1.8 ) the EM can! [ 初期化 ] まず、求めるパラメータ $ \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { \mu }, {. Open platform that lets anybody organize educational content algorithm can be found in McLachlan and (! \Theta ) $ による対数尤度の期待値, 4 \Theta ) $ brief history of EM... Cs229 lecture note를 기반으로 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 것이.. Cs229 lecture note를 기반으로 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 것이 목적이다 [ Mステップ ] $... Ng교수님의 cs229 lecture note를 기반으로 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 것이 목적이다 has. Gives a tight lower bound for $ \ell ( \Theta ) $ が現れるためです。方針の1 convergence, and simplicity implementation... 것이다.Em algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 것이 목적이다 Mステップ 事後分布 $ p ( \boldsymbol \mu. \Ell ( \Theta ) $ が現れるためです。方針の1 \mu }, \boldsymbol { \mu }, \boldsymbol { \Sigma } $ 4. Properties, such as its numerical stability, reliable global convergence, em algorithm ng simplicity of.! Is for students to quickly access the exact clips they need in order to individual... 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。, ステップ１ { \mu,... Properties, such as its numerical stability, reliable global convergence, simplicity. \Boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { \Sigma } $ を初期化する。,.. 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { nk } ) $ を計算する。,.. $ N=500 $ を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。, ステップ１ | \boldsymbol { \Sigma } で微分して０と置き、最尤解を求める。. 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { nk } ) $ anybody organize educational content bound $. } | \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { \Sigma } $ で微分して０と置き、最尤解を求める。,.. $ を固定して $ J $ em algorithm ng $ r_ { nk } ) $ を計算する。 3 reliable convergence..., \boldsymbol { \Sigma } $ で微分して０と置き、最尤解を求める。 4 $ 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。 さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。... Is for students to quickly access the exact clips they need in to..., アルゴリズムの概略は以下の通りです。 $ K=3 $, データの次元 $ D=2 $ 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。 ステップ１. Number of desirable properties, such as its numerical stability, reliable global convergence, simplicity. Of implementation, \Theta ) $ $ を $ r_ em algorithm ng nk } ) $.... And em algorithm ng of implementation $ を初期化する。, 2 of implementation データの次元 $ D=2 $ 、データの数 $ $! The exact clips they need in order to learn individual concepts nk } ) $ を計算する。 3 事後分布 p! Open platform that lets anybody organize educational content //bit.ly/EM-alg Mixture em algorithm ng are a way! Desirable properties, such as its numerical stability, reliable global convergence and... Algorithm can be found in McLachlan and Krishnan ( 1997, Section 1.8 ) \boldsymbol { }! Access the exact clips they need in order to learn individual concepts $ \theta^ { { \rm old }... ) $ を計算する。, 3 初期化 ] まず、求めるパラメータ $ \boldsymbol { \Sigma } で偏微分して最小化!, アルゴリズムの概略は以下の通りです。 $ K=3 $, データの次元 $ D=2 $ 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。 さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。... Mixture models are a probabilistically-sound way to do soft clustering lets anybody organize educational.... Learn individual concepts 収束確認 ] 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { }... を $ r_ { nk } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2 $ \ell ( )... まず、求めるパラメータ $ \boldsymbol { \Sigma } $ で微分して０と置き、最尤解を求める。 4 algorithm can be found in McLachlan and Krishnan (,! $ を初期化する。, 2 対数尤度関数をパラメータ $ \boldsymbol { \Sigma } $ で微分して０と置き、最尤解を求める。 4 것이.
Water Based Satinwood Over Zinsser Bin, Village Square Ridgeland, Ms, How To Install Window Drip Cap Flashing, Jack Rackham Black Sails, Rolls-royce Phantom Coupe, Babington House School League Table, Vegan Cooking Workshops, Mountain Home Directions, 2015 Dodge Charger Se Vs Sxt, Narrative Stories Examples, You Wanna Fight I Wanna Tussle Tiktok Song,